Magasin ATC ER20 — la note de calcul de la bille

Le principe

Une butée franche, et rien d'autre

Chaque poste tient un écrou ER20 — avec sa pince et son outil — suspendu dans une chambre Ø35, retenu par trois billes acier Ø5 qui font saillie de 1,20 mm.

L'écrou descend six-pans en avant. Ses plats passent entre les billes, ses angles non : il tourne librement d'un angle fini, puis bute net. La broche lancée à 1 500 tr/min s'arrête sec sur cette butée, et c'est cet arrêt qui fournit le couple de vissage ou de dévissage. Il n'y a pas d'autre moteur, pas de doigt, pas de vérin : toute la mécanique du changement d'outil tient dans ce contact.

1,20 mmsaillie des billes
la seule cote vraiment libre

1,02 mmmordant sur les angles
ce qui retient

46,1°rotation libre
avant la butée

5,56 mmhauteur du contact
la cote la plus critique

D'où viennent ces nombres

De docs/note-de-calcul-ER20.pdf, huit pages engendrées depuis le modèle : aucun chiffre n'y est recopié, un paramètre qui change dans le code change dans le document. L'écrou, lui, a été mesuré au pied à coulisse — 22 mm hors tout, dont 8 mm seulement de six-pans et 30 sur plats.

Le calcul

Pourquoi la saillie vaut 1,20 mm

C'est le seul chiffre du mécanisme qui soit vraiment libre. Il n'est ni mesuré ni copié : il se déduit de deux impossibilités, et on le place dans ce qui reste.

Les trois rayons qui décident de tout

Vue de dessus et à l'échelle, les trois rayons en jeu sont indiscernables — ils tiennent dans 2,5 mm. Il faut les déplier pour voir quoi que ce soit. Notons r_b le rayon du cercle tangent intérieurement aux trois billes.

Les mêmes rayons, dépliés. Tout se joue sur la position du cercle tangent aux billes entre le rayon des plats et celui des angles.

Deux impossibilités encadrent la solution

Première impossibilité. Si r_b dépasse le rayon des angles, les angles passent entre les billes et plus rien ne bloque :

D_c/2 − s < E_a/2 ⟹ s > (D_c − E_a)/2 = 0,18 mm

Seconde impossibilité. Si r_b descend sous le rayon des plats, les plats ne passent plus et l'écrou n'entre même pas :

D_c/2 − s > E/2 ⟹ s < (D_c − E)/2 = 2,50 mm

Reste une fenêtre de 2,32 mm, et toute la question est où s'y placer. Deux grandeurs s'y partagent la place, et elles s'opposent : le mordant sur les angles, s − 0,18, qui est ce qui retient ; et le jeu sur les plats, 2,50 − s, qui est ce qui laisse l'écrou entrer et tourner. Ce qu'on donne à l'un, on le retire à l'autre.

Les deux grandeurs se croisent à 1,34 mm — le partage exact. Le modèle retient pourtant 1,20, délibérément un peu plus de jeu que de mordant.

s − 0,18 = 2,50 − s ⟹ s = 1,34 mm le partage exact — qui n'est pas celui qu'on a retenu

Pourquoi 1,20 et pas 1,34

La raison est d'atelier, pas de calcul. Sur une pièce imprimée, la panne qu'on rencontre en premier est l'écrou qui n'entre pas ou ne tourne pas — la chambre ne lui laisse déjà que 0,18 mm au rayon. Le mordant, lui, se vérifie sur le gabarit d'essai avant d'imprimer quoi que ce soit ; un écrou qui n'entre pas, c'est une impression jetée.

saillie s	mordant	jeu plats
0,18	0,00	2,32	les angles passent : rien ne bloque
0,50	0,32	2,00
1,20	1,02	1,30	retenu
1,34	1,16	1,16	partage exact
1,50	1,32	1,00
2,00	1,82	0,50
2,50	2,32	0,00	les plats ne passent plus

Vérification

Les plats passent, les angles non

Un hexagone régulier de 30 sur plats mesure 34,64 sur angles.

La condition de fonctionnement, en une ligne.

P = D_c − 2s = 35 − 2 × 1,20 = 32,60 mm puis l'interférence au rayon : i = (E_a − P)/2 = 1,02 mm

De combien l'écrou tourne-t-il avant de buter ?

L'écrou tourne jusqu'à ce qu'un angle vienne toucher une bille. L'angle libre se lit sur la position où la distance de l'axe au plat atteint r_b :

θ = 2·arccos( (E/2) / r_b ) = 46,1° bille centrée dans son logement, r_b = 16,300 mm

Ce n'est pas un nombre unique : le logement a du jeu, et sous l'effort l'écrou repousse la bille vers l'extérieur — 46,1° bille centrée, 47,7° bille repoussée.

La sensibilité qui interdit les substituts

Cette lecture d'angle bouge de 1,6 degré par dixième de millimètre de diamètre de bille. Un substitut de diamètre inconnu — un rond quelconque, une queue de foret — rend la mesure inexploitable sur le gabarit d'essai.

La contrainte la plus serrée

Où la bille porte sur l'écrou

La bille doit toucher l'écrou sur sa partie à six faces, et nulle part ailleurs. Trop haut elle tombe sur la partie ronde ; trop bas, sur le chanfrein de pied. Ni l'une ni l'autre ne retient quoi que ce soit.

Premier point contre-intuitif : la bille ne touche jamais le plat en son milieu. Son point intérieur est à 16,30 de l'axe, le plat à 15,0 en son milieu mais à 17,32 à ses extrémités. La bille passe donc au large du milieu et vient rencontrer le plat près de son extrémité, à 2,28 mm de l'arête. L'arête elle-même reste à 2,644 mm du centre de la bille alors qu'il en faudrait 2,500 pour toucher : elle ne touche pas.

Second point, celui qui fixe la hauteur : ce plat est une surface verticale. Une sphère qui touche un plan vertical le touche à la hauteur de son centre, en un seul point. Ce n'est donc pas toute la silhouette de la bille qui porte, mais son équateur.

Le contact se fait au centre de la bille, à 5,56 mm au-dessus de la face d'appui. Il reste 4,06 mm de marge dessous et 2,44 dessus.

z_e = h_p + h_c·(E_a − D_p)/(D_c − D_p) − c = 5 + 1,5 × (34,64 − 26)/(35 − 26) − 1,50 = 4,94 mm hauteur d'appui de l'écrou sur le cône du siège

z_b = z_fond + d_b/2 = 8,0 + 5,0/2 = 10,50 mm hauteur du centre de la bille

z_b − z_e = 5,56 mm et 1,50 ≤ 5,56 ≤ 8 ✓ le contact tombe bien dans la zone où l'arête est à plein rayon

Ne jamais viser les 11 mm

Le six-pans fait 8 mm, 11 en comptant le chanfrein du haut. Mais au-delà des 8 mm, ce chanfrein rogne les angles et l'interférence tombe à zéro : plus rien ne bloque. C'est la contrainte la plus serrée de tout le projet, et elle est restée invisible tant que la hauteur du six-pans — puis son chanfrein de pied — n'avaient pas été mesurés.

1,5 mm qui ont fait bouger toute la chaîne

L'arête de l'angle est chanfreinée en pied sur 1,50 mm. Elle n'est donc à plein rayon que de 1,5 à 8,0 mm : 6,50 mm d'arête utile, et non 8. Sans ce terme, le modèle se trompait de 1,50 mm sur toute la chaîne verticale — écart retrouvé par deux mesures indépendantes sur pièce imprimée.

Les planches

Le reste du magasin

Les plans sortent de TechDraw, et leurs cotes sont lues directement sur le modèle : 74 cotes vérifiées à chaque régénération. Cliquer pour agrandir.

Planche TechDraw : l'ensemble monté du magasin ATC six postes — **L'ensemble monté.** 6 postes, chacun avec son siège à billes coulissant contre un ressort préchargé. La course du siège — 12 mm — doit rester supérieure à la longueur de filetage engagée entre l'écrou et le nez de broche (10 mm, mesurés), sinon le siège arrive en butée avant que l'écrou ait fini de se dévisser.

Planche TechDraw : le siège à billes, avec ses trois logements Ø5,2 — **Le siège à billes.** Trois logements Ø5,2 à 120° pour des billes Ø5. Les parois de ces logements font 6,20 mm — d'où les 4 périmètres minimum à l'impression.

Planche TechDraw : le gabarit d'essai qui reproduit l'engagement bille/écrou — **Le gabarit d'essai.** Même chambre Ø35, même saillie de 1,20 : il reproduit l'engagement bille/écrou à l'identique. On y dépose trois billes, on engage un écrou, on le tourne — et on lit l'angle avant butée. C'est ce qui se vérifie **avant** d'imprimer six sièges à 28 g et 40 minutes pièce.

Ce qui n'est pas publié ici

Le magasin est modélisé d'après la demande de brevet US 2024/0278368 A1 (Greilick Industries LLC, publiée le 22/08/2024, statut « pending » — une demande en instance, pas un brevet délivré). Cette page explique des calculs et montre des plans ; elle ne diffuse ni modèle 3D, ni STL. Les macros du changeur d'outil LinuxCNC, elles, portent la logique des macros RapidChange ATC de Greilick, sous GPL-3.0, et sont dans la config PrintNC.